Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ ba của nửa đường tròn (O), cắt Ax ở C và cắt By ở D. Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\). 

b) MN ⊥ AB.

c) \[\widehat {COD} = 90^\circ \].

Lời giải

a) Vì CA, CM là tiếp tuyến của (O) nên CA = CM.

Tương tự DB = DM.

Vì AC, DB là tiếp tuyến của (O) \( \Rightarrow AC \bot AB,BD \bot AB\)

\( \Rightarrow AC\,{\rm{//}}\,DB\)

\[ \Rightarrow \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CN}}{{NB}} = \frac{{CM}}{{MD}}\] (hệ quả định lí Talet).

\( \Rightarrow \frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\).

b) Theo chứng minh ở câu a ta có: \(\frac{{CN}}{{NB}} = \frac{{CM}}{{MD}}\)

\( \Rightarrow MN//BD\) (định lí Talet đảo).

Mà \(BD \bot AB \Rightarrow MN \bot AB\).

c) Ta có CM, CA là tiếp tuyến của (O)

Þ OC là phân giác của \(\widehat {AOM}\) nên \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\).

Tương tự OD là phân giác của \(\widehat {BOM}\) nên \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\).

Mà \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = \widehat {AOB} = 180^\circ \)  (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {COM} + \widehat {DOM} = 90^\circ \) hay \(\widehat {COD} = 90^\circ \).