Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM.

a) So sánh hai tam giác: ΔAKN và ΔBKM.

b) Chứng minh: ΔKMN vuông cân.

c) Tứ giác ANKP là hình gì? Vì sao?

Lời giải

a) K là điểm chính giữa cung AB nên

Þ AK = KB (liên hệ giữa cung và dây)

Xét ∆AKN và ∆BKM có:

AK = BK (cmt)

\(\widehat {NAK} = \widehat {MBK}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung KM)

AN = BM (gt)

Þ ∆AKN = ∆BKM (c.g.c)

b) ∆AKN = ∆BKM

\( \Rightarrow \widehat {AKN} = \widehat {BKM}\) và KN = KM

Khi đó: \[\widehat {NKM} = \widehat {NKB} + \widehat {BKM} = \widehat {NKB} + \widehat {AKN} = \widehat {AKB} = 90^\circ \]

Mà KN = KM (cmt)

Þ ∆KMN là tam giác vuông cân tại K

c) Vì K nằm chính giữa cung AB với AB là đường kính

\( \Rightarrow \widehat {KPB} = 45^\circ \)

Mà BP // KM Þ KMBP là hình thang cân

Þ KB = PM Þ \( \Rightarrow \widehat {PAM} = \widehat {PBM} = 45^\circ \)

Mà \(\widehat {KPA} = 180^\circ - \widehat {KBA} = 135^\circ \Rightarrow \widehat {KPA} + \widehat {PAM} = 180^\circ \)

Þ PK // AM

Lại có PK = MB = AN Þ ANKP là hình bình hành.