Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến

Đề bài: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM tia CO cắt d tại D.

a ) CMR OBNC nội tiếp.

b ) CMR NO vuông góc với AD.

c ) CMR CA . CN = CO . CD

d ) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN ) đạt GTNN.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Câu a) Ta có:  cân tại O và AC = MC nên  $OC\perp AM$ hay $\widehat{OCN}={90}^0$ .

Xét tứ giác OBNC ta có :

$\widehat{OCN}={90}^0$ ( cmt )

$\widehat{OBN}={90}^0$ ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính )

$\Rightarrow \widehat{OCN}+\widehat{OBN}={180}^0$ hay OBNC là tứ giác nội tiếp (đpcm )

Câu b ) Xét tam giác AND ta có :

AB là đường cao xuất phát từ đỉnh A.

DC là đường cao xuất phát từ đỉnh D.

Mà hai đường cao này cắt nhau tại O cho nên O là trực tâm của 

NO cắt AD suy ra NO là đường cao của tam giác AND $\Rightarrow NO\perp AD$

Câu c ) Ta có

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{CAO}+\widehat{ANB}={90}^0\\ \widehat{CDN}+\widehat{ANB}={90}^0\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{CAO}=\widehat{CDN}$

Xét tam giác CAO và tam giác CDN ta có :

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{ACO}=\widehat{DCN}\left(={90}^0\right)\\ \widehat{CAO}=\widehat{CDB}\left(cmt\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta CAO~\Delta CDN\left(g-g\right)$

$\Rightarrow \frac{CA}{CD}=\frac{CO}{CN}\Rightarrow CA.CN=CO.CD$ ( đpcm )

Câu d ) Xét tam giác AMB và tam giác ABN ta có :

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{BAM}:chung\\ \widehat{AMB}=\widehat{ABN}\left(={90}^0\right)\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \Delta AMB~\Delta ABN\left(g-g\right) \\ \Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AB}{AN}\Rightarrow AM.AN=A{B}^2=4R^2 \end{gathered}$$

Áp dụng BĐT cô – si ta có:

$2AM+AN\ge 2\sqrt{2AM.AN}=2\sqrt{8R^2}=4R\sqrt{2}$

Vậy GTNN của 2AM + AN là $4R\sqrt{2}$ khi và chỉ khi M là trung điểm của AN