Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, N là điểm trên nửa đường tròn. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax và By và một tiếp tuyến tại N cắt hai tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.

Chứng minh: AC + BD = CD và AC.BD không đổi.

Lời giải

Ta có DN và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D suy ra DN = DB.

CA và CN là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C suy ra CA = CN.

Khi đó: DB + CA = DN + CN = DC (đpcm).

Mặt khác OC và OD lần lượt là hai phân giác của hai góc \(\widehat {AON}\) và \(\widehat {BON}\) kề bù nên \(\widehat {COD} = 90^\circ \).

Trong tam giác vuông \(\Delta \)COD có ON là đường cao nên:

DN.CN = ON² = R².

Hay AC.BD = R² (không đổi) (đpcm).