Cho n ∈ ℕ, chứng minh rằng \({n^2} + n + 1\) không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5.

\({n^2} + n + 1 = n\left( {n + 1} \right) + 1\) mà \(n\left( {n + 1} \right) \vdots 2\).

Nên n(n + 1) + 1 lẻ nên không chia hết cho 4

Ta chứng minh: \({n^2} + n\) không chia 5 dư 4; n chia 5 dư 0 thì đúng; 1 cũng đúng;...

Nên \({n^2} + n + 1\) không chia 5 dư 4 + 1 = 5 hay 0 nên có đpcm.