Cho n thuộc ℕ. Chứng minh n^2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5

Đề bài: Cho n thuộc ℕ. Chứng minh n² + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: n² + n + 1 = n(n + 1) + 1

Thấy n(n + 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên sẽ bao gồm một số chẵn và một số lẻ. Do đó, n(n + 1) ⋮ 2

⇒ n(n + 1) + 1 không chia hết cho 2

⇒ n² + n + 1 không chia hết cho 2

⇒ n² + n + 1 không chia hết cho 4.

+) Tích 2 số tự nhiên liên tiếp có chữ số tận cùng là 0; 2; 6

⇒ n(n + 1) có chữ số tận cùng là 0; 2; 6

⇒ n(n + 1) + 1 có chữ số tận cùng là 1; 3; 7 hay n² + n + 1 có chữ số tận cùng là 1; 3; 7

⇒ n² + n + 1 không chia hết cho 5