Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Các mặt phẳng (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ

Đề bài: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Các mặt phẳng (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu $H_1,H_2$  lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn khối trên. Tính giá trị của  $\frac{V_{\left(H_1\right)}}{V_{\left(H_2\right)}}.$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Gọi $E=A{C}^{\text{'}}\cap A^{\text{'}}C$  và $F=B{C}^{\text{'}}\cap B^{\text{'}}C.$  Khi đó (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' thành 4 khối đa diện: $CEF{C}^{\text{'}};FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}};FEABC$ và $FEAB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}.$

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Ta có:

$$\begin{gathered} V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{C^{\text{'}\text{'}}.ABC}=\frac{1}{3}V;V_{FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}-V_{CEF{C}^{\text{'}}}; \\ {V}_{FEABC}=V_{C.ABC}-V_{CEF{C}^{\text{'}}}\Rightarrow V_{FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{FEABC}. \end{gathered}$$

Mặt khác: $\frac{V_{CEF{C}^{\text{'}}}}{V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}=\frac{CE}{C{A}^{\text{'}}}\cdot \frac{CF}{C{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{CEF{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{4}{V}_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}V=\frac{1}{12}V$

Suy ra 

$V_{FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{FEABC}=V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}-V_{CEF{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{12}V=\frac{1}{4}V\Rightarrow V_{FEAB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=V-2.\frac{1}{4}V-\frac{1}{12}V=\frac{5}{12}V.$

Do đó $H_1$  là thể tích lớn nhất của khối đa diện $FEAB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}};H_2$ là thể tích nhỏ nhất của khối đa diện $CEF{C}^{\text{'}}$

Khi đó: $\frac{V_{\left(H_1\right)}}{V_{\left(H_2\right)}}=5.$