Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy AD và BC

Đề bài: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy AD và BC. Biết AD = 2a, AB = BC = CD = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AD thỏa mãn HD = 3HA , SD tạo với đáy một góc 45°.Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Trả lời

Hướng dẫn giải: :

Gọi M là trung điểm của AD.

Ta có BC = AM = a và BC // AM nên tứ giác ABCM là hình bình hành.

Suy ra CM = AB = a suy ra ∆CDM đều.

Gọi K là hình chiếu của C lên AD.

Ta có: $CK=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Diện tích hình thang ABCD là : $S=\frac{\left(a+2a\right).\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.

Lại có: $HD=\frac{3}{2}.2a=\frac{3a}{2}$.

Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là :

$V=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$ (đvtt).

Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là $\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$ đvtt.