Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm
Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA
Mà AM = BN = CP = DQ \( \Rightarrow \) AB – AM = BC – BN = CD – CP = DA – DQ
Hay MB = NC = PD = QA
Xét ∆AMQ và ∆BNM có: \(\widehat {MAQ} = \widehat {NBM} = 90^\circ \); AM = BN (gt); QA = MB (CMT)
Do đó ∆AMQ = ∆BNM (2 cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ
Khi đó MN = NP = PQ = QM
Tứ giác MNQP có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi
Do ∆AMQ = ∆BNM (CMT) nên \(\widehat {AMQ} = \widehat {BNM}\) (2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat {BNM} + \widehat {BMN} = 90^\circ \)(do ∆BMN vuông tại B) \( \Rightarrow \widehat {AMQ} + \widehat {BMN} = 90^\circ \)
Lại có \(\widehat {AMQ} + \widehat {QMN} + \widehat {BMN} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {QMN} = 180^\circ - \left( {\widehat {AMQ} + \widehat {BMN}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
Hình thoi MNPQ có \(\widehat {QMN} = 90^\circ \) nên MNPQ là hình vuông.