Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM + NC = AD.

1) Chứng minh AM = BN.

2) Chứng minh ∆AMD = ∆BND.

3) Tính số đo các góc của ∆DMN.

Lời giải

1) Theo đề, ta có AM + NC = AD.

Mà BN + NC = BC = AD (do ABCD là hình thoi).

Vậy AM = BN.

2) Ta có AB = BD (giả thiết) và AB = AD (do ABCD là hình thoi).

Suy ra AB = AD = BD.

Do đó tam giác ABD đều.

Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {ABD} = 60^\circ \).

Mà BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (do ABCD là hình thoi).

Do đó \(\widehat {DBN} = \widehat {ABD} = 60^\circ \).

Xét ∆AMD và ∆BND, có:

AM = BN (chứng minh trên);

AD = BD (chứng minh trên);

\(\widehat {MAD} = \widehat {DBN} = 60^\circ \).

Do đó ∆AMD = ∆BND (c.g.c).

3) Ta có ∆AMD = ∆BND (chứng minh trên).

Suy ra MD = ND (1) và \(\widehat {MDA} = \widehat {NDB}\) (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Mà \(\widehat {MDA} + \widehat {MDB} = \widehat {ADB} = 60^\circ \) (do ∆ABD đều).

Do đó \(\widehat {NDB} + \widehat {MDB} = \widehat {MDN} = 60^\circ \) (2)

Từ (1), (2), suy ra ∆MDN đều.

Vậy \(\widehat {DMN} = \widehat {DNM} = \widehat {MDN} = 60^\circ \).