a) Xét tam giác BAD có: M, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD
Suy ra MQ là đường trung bình của tam giác BAD
Do đó MQ // AD và \(MQ = \frac{1}{2}A{\rm{D}}\) (1)
Xét tam giác CAD có: N, P lần lượt là trung điểm của AC, CD
Suy ra NP là đường trung bình của tam giác CAD
Do đó NP // AD và \(NP = \frac{1}{2}A{\rm{D}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MQ // NP ; MQ = NP
Xét tứ giác MNPQ có: MQ // NP ; MQ = NP (chứng minh trên)
Suy ra MNPQ là hình bình hành
b) Xét tam giác CAB có: N, M là trung điểm của AC, AB
Suy ra NM là đường trung bình của tam giác CAB
Do đó \(NM = \frac{1}{2}BC\)
Để MPNQ là hình thoi ⇔ MN = MQ
⇔ AD = BC (vì \(MQ = \frac{1}{2}A{\rm{D,}}MN = \frac{1}{2}BC\))
⇔ Hình thang ABCD là hình thang cân
Vậy hình thang ABCD cân thì MNPQ là hình bình hành.