Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng 1. Mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng (P) bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}.$

B. $\frac{\sqrt{7}}{7}.$

C. $\frac{\sqrt{21}}{7}.$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Trả lời

Chọn C

Gọi thiết diện qua đỉnh là tam giác vuông cân SAB và gọi H là trung điểm AB.

Kẻ $OK\perp SH\Rightarrow d\left(O,\left(SAB\right)\right)=OK$

Ta có SO = 1; OA = 1; $AB=1\Rightarrow HA=\frac{1}{2}$.

Trong tam giác AHO có $OH=\sqrt{O{A}^2-H{A}^2}=\sqrt{1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Trong tam giác SOH có $\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{H}^2}=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}\Rightarrow O{K}^2=\frac{3}{7}\Rightarrow OK=\frac{\sqrt{21}}{7}$.

Vậy $d\left(O,\left(SAB\right)\right)=\frac{\sqrt{21}}{7}$