Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC' = căn của 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB'
212
08/12/2023
Bài 15 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC' = √3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng
A. 13 .
B. √33 .
C. √32 .
D. 12 .
Trả lời
Đáp án đúng là: B

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD và AC ⊥ BD.
Có AD // B'C' và AD = B'C' (vì cùng song song và bằng BC) nên ADC'B' là hình bình hành, suy ra AB' // DC'. Do đó AB' // (BDC').
Khi đó d(AB', BC') = d(AB', (BDC')) = d(A, (BDC')) = d(C, (BDC')) .
Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a.
Xét tam giác ABC vuông tại B có AC=√AB2+BC2=√a2+a2=a√2 .
Vì CC' ⊥ (ABCD) nên CC' ⊥ AC hay tam giác ACC' vuông tại C.
Xét tam giác ACC' vuông tại C, có AC' .
Do đó hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là 1 nên AC = .
Vì O là trung điểm của AC nên CO = .
Có AC BD, BD AA' (do AA' (ABCD)), suy ra BD (ACC'A') mà BD (BDC') nên (BDC') (ACC'A') .
Kẻ CE C'O tại E.
Vì (BDC') (ACC'A'), (BDC') (ACC'A') = C'O mà CE C'O nên CE (BDC').
Khi đó d(C, (BDC')) = CE.
Xét tam giác C'CO vuông tại C, CE là đường cao có:
.
Vậy d(AB', BC') .
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: