Tìm các giá trị của tham số m để: a) Hàm số f(x)

Bài 26 trang 108 Toán 11 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hàm số f(x) =  liên tục tại điểm x = −1;

b) Hàm số g(x) =  liên tục trên ℝ.

Trả lời

a) Ta có $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+4x+3}{x+1}$$=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{x+1}$$=\underset{x\to -1}{\lim }\left(x+3\right)=2$ ; f(−1) = m².

Để hàm số liên tục tại x = −1 thì $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-1\right)$ $\iff$ m² = 2 $\iff$$m=\pm \sqrt{2}$ .

Vậy $m=\pm \sqrt{2}$ thì hàm số liên tục tại x = −1.

b) Ta có x < 1 thì g(x) = 2x + m liên tục với mọi x < 1.

Có x > 1 thì g(x) = $\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}$ liên tục với mọi x > 1.

Tại x = 1, ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x+m\right)=2+m$.

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}$$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{x-1}$

$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(x^2+2\right)\left(x-1\right)}{x-1}$$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2+2\right)=3$.

Có g(1) = 2 ∙ 1 + m = 2 + m.

Hàm số đã cho liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1

$\iff \underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=g\left(1\right)$ $\iff$ 2 + m = 3 $\iff$ m = 1.

Vậy m = 1 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: