Tính các giới hạn sau: a) lim từ n đến dương vô cùng của (1+3+5+...+(2n-1))/(n^2+2n+3

Bài 25 trang 108 Toán 11 Tập 2: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\cdots +\left(2n-1\right)}{n^2+2n+3}$ ;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdots +\frac{2^n}{3^n}\right)$ ;

c) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2+3x-2}{x^2-4}$ ;

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2+x+1}+2x\right)$ .

Trả lời

a) Ta có 1; 3; 5; …; 2n – 1 là một cấp số cộng có $\frac{2n-1-1}{2}+1=n$ (số hạng).

Suy ra 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = $\frac{1+2n-1}{2}\cdot n=n^2$ .

Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\cdots +\left(2n-1\right)}{n^2+2n+3}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+2n+3}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}=1$ .

b) Ta có $1;\frac{2}{3};\frac{4}{9};\mathrm{...};\frac{2^n}{3^n}$ là một cấp số nhân với u₁ = 1 và q = $\frac{2}{3}$.

Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdots +\frac{2^n}{3^n}\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}}{1-\frac{2}{3}}$

 = 3.

c) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2+3x-2}{x^2-4}$$=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(2x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=\frac{2\cdot \left(-2\right)-1}{-2-2}=\frac{5}{4}$

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2+x+1}+2x\right)$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{\sqrt{4x^2+x+1}-2x}$= 

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{-x\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-2x}$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-2}$$=-\frac{1}{4}$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: