Cho hình lăng trụ  $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC)  trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Tính thể tích V của khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$.

Chọn B

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra $A^{\text{'}}G\perp \left(ABC\right)$.
Gọi I là trung điểm của BC. Từ I kẻ $IH\perp A{A}^{\text{'}}\left(H\in A^{\text{'}}A\right)$.
Ta có $BC\perp AI,BC\perp A^{\text{'}}G\Rightarrow BC\perp IH$
Mà $IH\perp A{A}^{\text{'}}$
Suy ra IH là đoạn vuông góc chung của AA' và BC.
Suy ra $d\left(A{A}^{\text{'}};BC\right)=IH=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
$AG=\frac{2}{3}AI=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Ta có $△A{A}^{\text{'}}G~△AIH\Rightarrow \frac{A^{\text{'}}G}{IH}=\frac{AG}{AH}\Rightarrow A\text{'}G=\frac{IH.AG}{AH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)}^2}}=\frac{a}{3}$.
$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Vậy $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$