Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a

Đề bài: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai đường thẳng AB' và BC'  bằng 60$°$. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình bình hành ABB'A' và I là trung điểm của A'C'. Ta có: 

$\widehat{B^{\text{'}}OI}=(A{B}^{\text{'}},B{C}^{\text{'}})={60}^0.$

Mặt khác $O{B}^{\text{'}}=\frac{A{B}^{\text{'}}}{2}=\frac{B{C}^{\text{'}}}{2}=OI$  nên $\Delta B^{\text{'}}OI$  là tam giác đều.

Suy ra $A{B}^{\text{'}}=2O{B}^{\text{'}}=2B^{\text{'}}I=2\left(\frac{2a\sqrt{3}}{2}\right)=2a\sqrt{3}.$

Vì  $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  là hình lăng trụ tam giác đều nên tam giác AA'B' vuông tại A' và có

$A{A}^{\text{'}}=\sqrt{A{B}^{\text{'}2}-A^{\text{'}}{B}^{\text{'}2}}=\sqrt{12a^2-4a^2}=2a\sqrt{2}.$

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là: $V=A{A}^{\text{'}}.S_{ABC}=2a\sqrt{2}.\frac{{\left(2a\right)}^2\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{6}{a}^3.$