Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AC = AA' = 2a

Bài 12 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AC = AA' = 2a. Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng

A. 8a³.

B. 6a³.

C. 4a³.

D. a³.

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC² = AB² + BC².

Ta có S_ABCD = AB . BC ≤ $\frac{A{B}^2+B{C}^2}{2}=\frac{A{C}^2}{2}=2a^2$ . Dấu “=” xảy ra khi AB = BC.

Gọi H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD). Khi đó A'H $\perp$ (ABCD). Khi đó AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng (ABCD).

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABCD). Khi đó $\alpha =\widehat{A^{\text{'}}AH}$ .

Xét tam giác A'AH vuông tại H có A'H = AA' . sin$\alpha$ ≤ AA' = 2a.

Dấu bằng xảy ra khi $\alpha$ = 90° hay AA' $\perp$ (ABCD).

Do đó V_{ABCD.A'B'C'D'} = S_ABCD . A'H ≤ 2a² . 2a = 4a³.

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng 4a³.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: