Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AC = AA' = 2a
179
08/12/2023
Bài 12 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AC = AA' = 2a. Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng
A. 8a3.
B. 6a3.
C. 4a3.
D. a3.
Trả lời
Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC2 = AB2 + BC2.
Ta có SABCD = AB . BC ≤ AB2+BC22=AC22=2a2 . Dấu “=” xảy ra khi AB = BC.
Gọi H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD). Khi đó A'H ⊥ (ABCD). Khi đó AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng (ABCD).
Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABCD). Khi đó α=A' .
Xét tam giác A'AH vuông tại H có A'H = AA' . sin ≤ AA' = 2a.
Dấu bằng xảy ra khi = 90° hay AA' (ABCD).
Do đó VABCD.A'B'C'D' = SABCD . A'H ≤ 2a2 . 2a = 4a3.
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng 4a3.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: