Cho hình chữ nhật ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M thuộc CD và N thuộc AB sao cho DM = BN.

a) Chứng minh ANCM là hình bình hành, từ đó suy ra các điểm M, O, N thẳng hàng.

b) Qua M kẻ đuờng thẳng song song với AC cắt AD ở E, qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở F. Chứng minh tứ giác ENFM là hình bình hành.

c) Tìm vị trí của điểm M, N để ANCM là hình thoi.

d) BD cắt NF tại I.  Chứng minh I là trung điểm của NF

Lời giải

a) Ta chứng minh \[\left\{ \begin{array}{l}AN = CM\\AN\parallel CM\end{array} \right. \Rightarrow AMCN\] là hình bình hành.

Vì O là giao điểm của AC và BD, ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm AC

Do ANCM là hình bình hành có AC và MN là hai đường chéo

\( \Rightarrow \) O là trung điểm MN

b) Ta có: EM // AC nên \(\widehat {EMD} = \widehat {ACD}\) (2 góc so le trong)

NF // AC nên \(\widehat {BNF} = \widehat {BAC}\)  (2 góc so le trong)

Mà \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\) (vì AB // DC, tính chất hình chữ nhật)

\( \Rightarrow \widehat {EMD} = \widehat {BNF}\)

Từ đó chứng minh được: ∆EDM = ∆FBN (g.c.g)

 \( \Rightarrow \)EM = FN

Lại có EM // FN (vì cùng song song với AC)

Nên tứ giác ENFM là hình bình hành

c) Tứ giác ANCM là hình thoi \( \Leftrightarrow AC \bot MN\) tại O \( \Rightarrow \) M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua O, vuông góc AC và cắt CD, AB.

Khi đó M và N là trung điểm của CD và AB.

d) Ta chứng minh được DBOC cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OCB} = \widehat {OBC}\) và \(\widehat {NFB} = \widehat {OCF}\)(đv)  

\( \Rightarrow \) \(\Delta \)BFI cân tại I 

\( \Rightarrow \) IB = IF  (1)

Ta lại chứng minh được ∆NIB cân tại I \( \Rightarrow \) IN = IB  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) I là trung điểm của NF.