Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ F đối xứng

Đề bài: Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ  F đối xứng với điểm D qua C.

a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

b) Chứng minh AC = DE.

c) Gọi H là trung điểm của CD, K là trung điểm của EF. Chứng minh HK // AF.

d) Biết diện tích tam giác AEF bằng 30 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD?

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Xét tứ giác BDEF có:

C là trung điểm BF (E điểm đối xứng của B qua C)

C là trung điểm DF (F điểm đối xứng của D qua C)

Do đó tứ giác BDEF là hình bình hành

Mặc khác ABCD là hình chữ nhật nên BE ⊥ DF tại C

Vậy tứ giá BDEF là hình thoi.

b) Ta có: ABCD là hình chữ nhật có AC = BD;

BDEF là hình thoi (câu a) có BD = DE

Do đó AC = DE.

c) Ta có: ABCD là hình chữ nhật có AD = BC;

Mà BC = CE (E điểm đối xúng B qua C).

Do đó AD = CE.

Xét tứ giác ADEC có:

AC = DE (câu b)

AD = CE (cmt)

Do đó ADEC là hình hình hành.

Mà H là trung điểm cua CD nên H cũng là trung điểm của AE.

Xét ∆AEF có:

H là trng điểm của AE (cmt);

K là trung điểm của EF

⇒ HK là đường trung bình của ∆AEF nên HK // AF

d)  Ta có: S_∆AEF = S_∆AHF + S_∆HEF

$$\begin{gathered} \iff 30=\frac{1}{2}AD.HF+\frac{1}{2}CE.HF \\ \iff \frac{1}{2}HF\left(AD+CE\right)=30 \\ \iff \frac{1}{2}.\frac{3}{2}CD.\left(AD+AD\right)=30 \\ \iff \frac{3}{2}CD.AD=30 \\ \iff \frac{3}{2}.S_{ABCD}=30 \end{gathered}$$

$\Rightarrow S_{ABCD}=30.\frac{2}{3}=60$ (cm²).