Cho hình chóp S.ABCD. Gọi α1, α2, α3, α4 lần lượt là góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC, SD và mặt phẳng (ABCD)

Bài 31 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi α₁, α₂, α₃, α₄ lần lượt là góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC, SD và mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng:

SA = SB = SC = SD ⇔ α₁ = α₂ = α₃ = α₄.

Trả lời

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABCD) hay SO ⊥ (ABCD).

Mà OA, OB, OC, OD đều nằm trên (ABCD) nên SO ⊥ OA, SO ⊥ OB, SO ⊥ OC, SO ⊥ OD.

Suy ra: bốn tam giác SAO, SBO, SCO, SDO vuông tại O nên các góc $\widehat{SAO}$, $\widehat{SBO}, \widehat{SCO,}$$\widehat{SDO}$ đều lớn hơn 0° và nhỏ hơn 90°.

Vì O là hình chiếu của S trên (ABCD), ta suy ra: ${\alpha }_1=\widehat{SAO}$ và 0° < α₁ < 90°.

Xét tam giác SAO vuông tại O có: $\sin {\alpha }_1=\sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA}$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

· $\sin {\alpha }_2=\sin \widehat{SBO}=\frac{SO}{SB}$ (0° < α₂ < 90°).

· $\sin {\alpha }_3=\sin \widehat{SCO}=\frac{SO}{SC}$ (0° < α₃ < 90°).

·$\sin {\alpha }_4=\sin \widehat{SDO}=\frac{SO}{SD}$ (0° < α₄ < 90°).

Như vậy: SA = SB = SC = SD $\iff \frac{SO}{SA}=\frac{SO}{SB}=\frac{SO}{SC}=\frac{SO}{SD}$

⇔ sinα₁ = sinα₂ = sinα₃ = sinα₄

⇔ α₁ = α₂ = α₃ = α₄ (vì 0° < α₁ < 90°; 0° < α₂ < 90°; 0° < α₃ < 90°; 0° < α₄ < 90°)

Vậy SA = SB = SC = SD ⇔ α₁ = α₂ = α₃ = α₄.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối