Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a. Gọi α, β, γ lần lượt là số đo của các góc nhị diện

Bài 27 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a. Gọi α, β, γ lần lượt là số đo của các góc nhị diện [B, SA, C], [A, BC, S], [A, SC, B]. Tính:

a) cosα, cosβ;

b*) cosγ.

Trả lời

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a

a) Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AC và SA ⊥ BC.

· Ta có: AB ⊥ SA, AC ⊥ SA và AB ∩ AC = A ∈ SA.

Suy ra BAC^ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, C], tức là α=BAC^.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

AC2 = AB2 + BC2 ⇒ AC2 = (3a)2 + (4a)2 = 25a⇒ AC = 5a.

Và cosα=cosBAC^=ABAC=3a5a=35.

· Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ AB và SA ∩ AB = A trong (SAB) suy ra BC ⊥ (SAB).

Mà SB ⊂ (SBC) nên BC ⊥ SB.

Ta có: AB ⊥ BC, SB ⊥ BC và AB ∩ SB = B ∈ BC.

Suy ra SBA^ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BC, S], tức là β=SBA^.

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

SB2 = SA2 + AB2 ⇒ SB2 = (3a)2 + (3a)2 = 18a2 SB=32a.

Và cosβ=cosSBA^=ABSB=3a32a=22.

b*) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC nên AH ⊥ SB và AK ⊥ SC.

Do BC ⊥ (SAB) (cmt) và AH ⊂ (SAB) nên BC ⊥ AH.

Ta có: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC và SB ∩ BC = B trong (SBC) nên AH ⊥ (SBC).

Mà SC ⊂ (SBC) và HK ⊂ (SBC).

Suy ra: AH ⊥ SC và AH ⊥ HK.

Ta có: SC ⊥ AH, SC ⊥ AK (cmt) và AH ∩ AK = A trong (AHK) nên SC ⊥ (AHK).

Mà HK ⊂ (AHK).

Suy ra SC ⊥ HK.

Từ đó ta có: HK ⊥ SC, AK ⊥ SC và HK ∩ AK = K ∈ SC.

Suy ra AKH^ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, SC, B], tức là γ=AKH^.

Áp dụng hệ thức lượng trong:

· Tam giác SAB vuông tại A với đường cao AH có:

AH. SB = SA. AB AH=SA.ABSB=3a.3a32a=32a.

· Tam giác SAC vuông tại A với đường cao AK có:

AK. SC = SA. AC AK=SA.ACSC=SA.ACSA2+AC2

(Do tam giác SAC vuông tại A nên SC=SA2+AC2)

AK=3a.5a3a2+5a2=15a2a34=15a34.

Xét tam giác AHK vuông tại H (vì AH ⊥ HK) có:

HK=AK2AH2=15a3423a22=6a17.

Và cosγ=cosAKH^=HKAK=6a1715a34=225.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả