Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a. Gọi α, β, γ lần lượt là số đo của các góc nhị diện

Bài 27 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a. Gọi α, β, γ lần lượt là số đo của các góc nhị diện [B, SA, C], [A, BC, S], [A, SC, B]. Tính:

a) cosα, cosβ;

b*) cosγ.

Trả lời

a) Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AC và SA ⊥ BC.

· Ta có: AB ⊥ SA, AC ⊥ SA và AB ∩ AC = A ∈ SA.

Suy ra $\widehat{BAC}$ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, C], tức là $\alpha =\widehat{BAC}.$

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² ⇒ AC² = (3a)² + (4a)² = 25a² ⇒ AC = 5a.

Và $\cos \alpha =\cos \widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}.$

· Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ AB và SA ∩ AB = A trong (SAB) suy ra BC ⊥ (SAB).

Mà SB ⊂ (SBC) nên BC ⊥ SB.

Ta có: AB ⊥ BC, SB ⊥ BC và AB ∩ SB = B ∈ BC.

Suy ra $\widehat{SBA}$ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BC, S], tức là $\beta =\widehat{SBA}.$

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

SB² = SA² + AB² ⇒ SB² = (3a)² + (3a)² = 18a² $\Rightarrow SB=3\sqrt{2}a.$

Và $\cos \beta =\cos \widehat{SBA}=\frac{AB}{SB}=\frac{3a}{3\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

b*) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC nên AH ⊥ SB và AK ⊥ SC.

Do BC ⊥ (SAB) (cmt) và AH ⊂ (SAB) nên BC ⊥ AH.

Ta có: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC và SB ∩ BC = B trong (SBC) nên AH ⊥ (SBC).

Mà SC ⊂ (SBC) và HK ⊂ (SBC).

Suy ra: AH ⊥ SC và AH ⊥ HK.

Ta có: SC ⊥ AH, SC ⊥ AK (cmt) và AH ∩ AK = A trong (AHK) nên SC ⊥ (AHK).

Mà HK ⊂ (AHK).

Suy ra SC ⊥ HK.

Từ đó ta có: HK ⊥ SC, AK ⊥ SC và HK ∩ AK = K ∈ SC.

Suy ra $\widehat{AKH}$ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, SC, B], tức là $\gamma =\widehat{AKH}.$

Áp dụng hệ thức lượng trong:

· Tam giác SAB vuông tại A với đường cao AH có:

AH. SB = SA. AB $\Rightarrow AH=\frac{SA.AB}{SB}=\frac{3a.3a}{3\sqrt{2}a}=\frac{3}{\sqrt{2}}a.$

· Tam giác SAC vuông tại A với đường cao AK có:

AK. SC = SA. AC $\Rightarrow AK=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}}$

(Do tam giác SAC vuông tại A nên $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}$)

$\Rightarrow AK=\frac{3a.5a}{\sqrt{{\left(3a\right)}^2+{\left(5a\right)}^2}}=\frac{15a^2}{a\sqrt{34}}=\frac{15a}{\sqrt{34}}.$

Xét tam giác AHK vuông tại H (vì AH ⊥ HK) có:

$HK=\sqrt{A{K}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\left(\frac{15a}{\sqrt{34}}\right)}^2-{\left(\frac{3a}{\sqrt{2}}\right)}^2}=\frac{6a}{\sqrt{17}}.$

Và $\cos \gamma =\cos \widehat{AKH}=\frac{HK}{AK}=\frac{\frac{6a}{\sqrt{17}}}{\frac{15a}{\sqrt{34}}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối