Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d từ A tới mặt phẳng (SBD). A. d = a; B. d = 2a/3; C. d = a/3; D. d =
17
23/06/2024
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d từ A tới mặt phẳng (SBD).
A. d = a;
B. \[{\rm{d}} = \frac{{2{\rm{a}}}}{3}\];
C. \[{\rm{d}} = \frac{{\rm{a}}}{3}\];
D. \[{\rm{d}} = \frac{{\rm{a}}}{2}\].
Trả lời
Lời giải
Đáp án đúng là B
Gọi K là hình chiếu của A lên BD
Suy ra AK ⊥ BD
Ta có SA ⊥ (ABCD)
Suy ra SA ⊥ BD
Do đó BD ⊥ (SAK)
Từ A kẻ AH ⊥ SK
Mà BD ⊥ (SAK)
Suy ra BD ⊥ AH
Do đó AH ⊥ (SBD)
Khi đó khoảng cách d từ A tới mặt phẳng (SBD) là AH
Xét tam giác ABD vuông tại A có AK ⊥ BD
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\)
Xét tam giác ASK vuông tại A có AH ⊥ SK
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{{\rm{D}}^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{4{{\rm{a}}^2}}}\).
Suy ra \[{\rm{A}}H = \frac{{2{\rm{a}}}}{3}\]
Vậy ta chọn đáp án B.