Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = 2a. a) Chứng minh (SCD) vuông góc (SAD). b) Tính d(A, (SCD)).
14
23/06/2024
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = 2a.
a) Chứng minh (SCD) vuông góc (SAD).
b) Tính d(A, (SCD)).
Trả lời
Lời giải
a) Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD
Vì ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD
Suy ra CD ⊥ (SAD)
Mà CD ⊂ (SCD)
Suy ra (SCD) ⊥ (SAD).
b) Kẻ AH ⊥ SD
Mà CD ⊥ (SAD) nên CD ⊥ AH
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot S{\rm{D}}\\AH \bot C{\rm{D}}\end{array} \right.\)
Suy ra AH ⊥ (SCD)
Do đó d(A, (SCD)) = AH
Vì tam giác SAD vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có
\[{\rm{SD}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{D}}^2} + S{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {{\rm{2a}}} \right)}^2}} = a\sqrt 5 \]
Vì tam giác SAD vuông tại A có AH ⊥ SD
Suy ra AH . SD = SA . AD
Do đó \[{\rm{A}}H = \frac{{SA.A{\rm{D}}}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{2a.a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 5 }}\]
Vậy \[d\left( {A,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = \frac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 5 }}\].