Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, O là tâm đáy. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là trung điểm H của OA, biết $\widehat{\left(SD,\left(ABCD\right)\right)}=60°$ . Gọi $\alpha$  là góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD). Tìm mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: D

Gọi $I\in CD$  sao cho $HI\text{//}AD$ .

Ta có: $\frac{HI}{AD}=\frac{CH}{CA}=\frac{3}{4}\Rightarrow HI=\frac{3}{4}AD=\frac{3a}{2}$ ; 

$HD=\sqrt{D{O}^2+H{O}^2}=\sqrt{D{O}^2+\frac{D{O}^2}{4}}=\frac{DO\sqrt{5}}{2}$.

Mà $DO=\frac{DB}{2}=\frac{\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}a}{2}=a\sqrt{2}$ .

Suy ra $HD=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{2}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$$\Rightarrow SH=HD.\tan 60°=\frac{\sqrt{30}a}{2}$ .

Vì $HI\text{//}AD$  mà $AD\perp CD$  nên $HI\perp CD$ .

Hơn nữa $SH\perp CD$  (do $SH\perp \left(ABCD\right)$ ) nên ta có $CD\perp \left(SHI\right)$ .

Suy ra $CD\perp SI$ .

Từ đó dễ dàng thấy được góc giữa $mp\left(SCD\right)$  và $mp\left(ABCD\right)$  là $\widehat{SIH}$ .

Do đó $\tan \alpha =\tan \widehat{SIH}=\frac{SH}{HI}=\frac{\sqrt{30}}{3}\in \left(1;2\right)$ .