Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có $AB=2a$,$AD=DC=a$, $SA=a$ và $SA\perp \left(ABCD\right)$. Tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là

Chọn B

Cách 1: Gọi I là trung điểm của AB suy ra $AI=\frac{1}{2}AB=a$. Mặt khác ABCD là hình thang vuông và AD=DC=a, nên là hình vuông suy ra $CI=a$.
Vậy trong tam giác ACB có đường trung tuyến $CI=\frac{1}{2}AB$ và $CI\perp AB$, nên $\Delta ACB$ vuông cân tại C, hay $AC\perp CB$ (1).
Mà theo giả thiết $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CB$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $CB\perp SC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(ABCD\right)$ là góc giữa hai đường thẳng trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến, tức là góc $\widehat{SCA}=\alpha$.
Ta có $AC=a\sqrt{2}$. Vậy $\tan \alpha =\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Cách 2:
Gọi I là trung điểm củaAB  suy ra  $AI=\frac{1}{2}AB=a$.

Suy ra $AC\perp CB$ (1).
Mà $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CB$(2)
Từ (1) và (2) suy ra $SC\perp CB$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(ABCD\right)$ là góc giữa hai đường thẳng trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến, tức là góc $\widehat{SCA}=\alpha$.

Do đó $\tan \alpha =\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.