Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh AD sao

Bài 6 trang 104 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AD = 3AM. Gọi G, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB, ABC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (SCD) và NG song song với mặt phẳng (SAC).

Trả lời

a) Ta có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD) nên S là giao điểm của (SAB) và (SCD).

Lại có: AB // CD (do ABCD là hình bình hành);

            AB ⊂ (SAB);

            CD ⊂ (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB, CD.

b) • Gọi O là tâm của hình bình hành, khi đó BO = OD = $\frac{1}{2}$ BD.

Xét DABC có N là trọng tâm của tam giác nên $\frac{BN}{BO}=\frac{2}{3}$  do đó $\frac{BN}{BD}=\frac{BN}{2BO}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ .

Theo bài, AD = 3AM nên $\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$

Trong mặt phẳng (ABCD), xét $∆$ABD có  $\frac{AM}{AD}=\frac{BN}{BD}=\frac{1}{3}$

Do đó MN // AB (theo định lí Thalès đảo)

Trong mặt phẳng (ABCD) có: AB // CD và MN // AB nên MN // CD.

Lại có CD ⊂ (SCD)

Do đó MN // (SCD).

• Gọi I là trung điểm của SA.

Xét $∆$SAB có G là trọng tâm của tam giác nên $\frac{BG}{BI}=\frac{2}{3}$

Trong (BIO), xét DBIO có: $\frac{BG}{BI}=\frac{BN}{BO}=\frac{2}{3}$

Suy ra GN // IO (theo định lí Thalès đảo)

Mà IO ⊂ (SAC) nên GN // (SAC).

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian