Cho hình chóp S. ABCD có đáy là ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, AD = a căn bậc hai của 3, SA ⊥ (ABCD). Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng a căn bậc hai của 3 /4. Tính thể tích khố
13
02/07/2024
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, \[AD = a\sqrt 3 \], SA ⊥ (ABCD). Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng \[\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\]. Tính thể tích khối đa diện S.ABCD.
Trả lời
Lời giải:
Kẻ AH vuông góc với SD tại H nên AH ⊥ SD (1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot AH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A; (SCD) = AH.
Mà \(d(A;(SCD)) = 2d(O;(SCD)) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Tam giác SAD vuông tại A, có \(\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow SA = a\)
Thể tích khối chóp S. ABCD là:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}\,.\,SA\,.\,{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\,.\,{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) (đvtt).
Vậy thể tích khối chóp S. ABCD bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) (đvtt).