Đề bài: Cho hình bình hành ABCD, qua C kẻ đường thẳng song song BD cắt AB ở E, cắt AD ở F.
a) Tứ giác BECD là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh 3 đường thẳng AC, BF, DE đồng quy (cùng đi qua 1 điểm).
Hướng dẫn giải:
a) Tứ giác BECD là hình bình hành vì BE // CD (giả thiết) và CE // BD (giả thiết).
b) Ta có DF // BC (giả thiết) và BD // CF (giả thiết).
Suy ra BCFD là hình bình hành.
Do đó CF = BD (1)
Lại có BECD là hình bình hành (chứng minh trên).
Suy ra CE = BD (2)
Từ (1), (2), suy ra CF = CE.
Do đó CA là đường trung tuyến của tam giác AEF (*)
Ta có FD = BC (do BCFD là hình bình hành) và AD = BC (do ABCD là hình bình hành).
Suy ra DF = AD.
Do đó DE là đường trung tuyến của tam giác AEF (**)
Chứng minh tương tự, ta được BF là đường trung tuyến của tam giác AEF (***)
Từ (*), (**), (***), suy ra ba đường thẳng AC, BF, DE đồng quy tại trọng tâm của tam giác AEF.
Vậy ta có điều phải chứng minh.