a) Ta có: ED = \(\frac{1}{2}AD\)
BF = \(\frac{1}{2}BC\)
Mà ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD// BC
Suy ra: ED = BF và ED // BF
Vậy EDFB là hình bình hành.
b) Vì EB // DF nên EP // DQ
Xét tam giác ADQ có:
EP // DQ và E là trung điểm AD nên PE là đường trung bình của tam giác ADQ.
Suy ra: P là trung điểm AQ hay AP = PQ (1)
Xét tam giác BPC có:
FQ // BP và F là trung điểm BC nên FQ là đường trung bình của tam giác BPC.
Suy ra: Q là trung điểm của PC hay PQ = QC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AP = PQ = QC.
c) Do AE // BC nên áp dụng định lí Thalès ta có:
\(\frac{{AP}}{{PC}} = \frac{{EP}}{{PB}} = \frac{1}{2}\)
Mặt khác R là trung điểm PB nên PR = RB = \(\frac{1}{2}PB\)
Suy ra: EP = PR = RB = \(\frac{1}{2}PB\)
Xét tứ giác ARQE có:
AP = PQ và PE = PR (2 đường chéo AQ, RE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Vậy tứ giác ARQE là hình bình hành.