Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 6 cm. Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 4 cm. Đường thẳng AM cắt đường chéo BD tại I, cắt đường thẳng DC tại N.
a) Tính tỉ số \(\frac{{IB}}{{ID}}\).
b) Chứng minh ΔMAB và ΔAND đồng dạng.
c) Tính độ dài DN và CN.
d) Chứng minh IA2 = IM.IN.
a) Ta có: AD // BC
Áp dụng hệ quả định lí Thalès ta có:
\(\frac{{IB}}{{ID}}\, = \,\,\frac{{BM}}{{AD}}\, = \,\,\frac{4}{6}\,\, = \,\,\frac{2}{3}\,\)
b) Xét ΔAMB và ΔNAD có:
\[\widehat {BAM}{\rm{ }} = \widehat {AND}\] (so le trong, AB // CD)
\[\widehat {ABM}{\rm{ }} = \widehat {ADN}\] (góc đối của hình bình hành)
⇒ ΔAMB ᔕ ΔNAD (g.g)
c) ΔAMB ᔕ ΔNAD (cmt)
Suy ra: \(\frac{{DN}}{{AB}}\, = \,\,\frac{{AD}}{{MB}}\, \Rightarrow \,DN\,\, = \,\,\,\frac{{AB\,.\,AD}}{{MB}}\,\,\, = \,\,\frac{{8\,.\,6}}{4}\,\, = \,\,12\left( {cm} \right)\,\,\,\)
Do đó: CN = DN – DC = 12 – 8 = 4 (cm).
d) Do AB // CD nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{IA}}{{IN}}\, = \,\,\frac{{IB}}{{ID}}\,\,\)
Tương tự do AD // BM nên \(\frac{{IB}}{{ID}}\, = \,\,\frac{{IM}}{{IA}}\,\,\)
Suy ra: \(\frac{{IA}}{{IN}}\, = \,\,\frac{{IM}}{{IA}}\,\,\)hay IA2 = IM. IN.