Cho hệ phương trình: x + my = 9; mx - 3y = 4

Đề bài: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x+my=9\\ mx-3y=4\end{array}\right.$ . Chứng minh phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}x+my=9\\ mx-3y=4\end{array}\right.$

Với m = 0 hệ phương trình tương đương: $\left\{\begin{array}{c}x=9\\ y=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$ .

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Với m ≠ 0, $\left\{\begin{array}{c}x+my=9\\ mx-3y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}mx+m^{2}y=9\\ mx-3y=4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}mx+m^{2}y=9m\\ mx-3y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=9-my\\ (m^2+3)y=9m-4\end{array}\right.$

Do $m^2+3$ > 0

Nên $y=\frac{9m-4}{m^2+3},x=9-m.\frac{9m-4}{m^2+3}=\frac{27+4m}{m^2+3}$ .

Với mỗi giá trị của m chỉ cho 1 cặp nghiệm (x, y).

Vậy với mọi giá trị của m hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.