Cho hệ phương trình: x - 2y = 3 - m

Đề bài: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ 2x+y=3\left(m+2\right)\end{array}\right.$(1), m là tham số.

a) Giải hệ (1) với m = 2.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x² + y², trong đó (x; y) là nghiệm duy nhất của hệ (1).

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a)

Thay m = 2 vào hệ phương trình ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2y=3-2\\ 2x+y=3\left(2+2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=1\\ 2x+y=12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-4y=2\\ 2x+y=12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y=12\\ 5y=10\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+y=12\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x=12-y\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x=12-2\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=2\end{array}\right.\end{array}$

Vậy khi m = 2 thì nghiệm của hệ phương trình là cặp số (5; 2)

b)

Với mọi m, ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ 2x+y=3\left(m+2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-4y=6-2m\\ 2x+y=3m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ 5y=(3m+6)-(6-2m)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ 5y=5m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2m=2-m\\ y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2+m\\ y=m\end{array}\right.\end{array}$

Do đó, với mọi tham số m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là cặp số (2 + m; m)

c)

Cặp số (x; y) = (2 + m; m) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

Xét A ta có:

A = x² + y²

= (2 + m)² + m²

= 4 + 4m + m² + m²

= 2m² + 4m + 4

= 2(m² + 2m + 2)

= 2(m² + 2m + 1 + 1)

= 2(m² + 2m + 1) + 2

= 2(m+1)² + 2

Ta có: (m + 1)² ≥ 0 với mọi số thực m

⇔ 2(m+1)²  ≥ 0 với mọi số thực m

⇔ 2(m+1)² + 2 ≥ 2 với mọi số thực m

Hay A ≥ 2 với mọi số thực m

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là A = 2.

Dấu “=” xảy ra ⇔ m + 1 = 0 ⇔ m = –1.