Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{mx + y = 3m - 1}\\{x + my = m + 1}\end{array}} \right.\). Tìm m để hệ:

a. Có nghiệm duy nhất.

b. Có vô số nghiệm.

c. Vô nghiệm

Lời giải:

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{mx + y = 3m - 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{x + my = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

PT (1) ⇒ y = –mx + 3m – 1

Thay và PT (2) ta có:

x + m(– mx + 3m – 1) = m + 1

\( \Leftrightarrow \left( {1 - {m^2}} \right)x + 3{m^2} - 2m - 1 = 0\left( * \right)\)

a. Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow 1 - {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).

b. Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì phương trình (*) có vô số nghiệm

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - {m^2} = 0}\\{3{m^2} - 2m - 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow m = 1\).

c. Để hệ phương trình vô nghiệm thì phương trình (*) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - {m^2} = 0}\\{3{m^2} - 2m - 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - 1\).