$y^{\text{'}}=-2f^{\text{'}}\left(5-2x\right)$.
Bảng xét dấu của $f^{\text{'}}(5-2x)$

Đặt $t=5-2x$
$f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=2\\ x=3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=3\\ t=1\\ t=-1\end{array}\right.$
Bảng biến thiên của $f\left(t\right)$

Xét $\left|3f\left(x^2-4x+3\right)-m\right|=\left|h\left(x\right)\right|$.
Đặt $u=x^2-4x+3={\left(x-2\right)}^2-1\ge -1$.

Hàm số $g\left(x\right)$ có giá trị lớn nhất $\iff \left|-3-m\right|\le \left|12-m\right|\iff m\le \frac{9}{2}$.
Vậy $m\le \frac{9}{2}$ thì hàm số $g\left(x\right)$ có giá trị lớn nhất .