Cho hàm số  $y=-x^3+3m{x}^2-3m-1$ với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng $d:x+8y-74=0$.

Ta có  $y\text{'}=-3x^2+6mx=-3x\left(x-2m\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2m\end{array}\right.$.

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  $\iff m\ne 0$.

Khi đó gọi  $A\left(0;-3m-1\right)$ và  $B\left(2m;4m^3-3m-1\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của AB là điểm  $I\left(m;2m^3-3m-1\right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left(2m;4m^3\right)=2m\left(1;2m^2\right)$.

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là  $\overrightarrow{u}=\left(8;-1\right).$

Ycbt  $\iff \left\{\begin{array}{l}I\in d\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+8\left(2m^3-3m-1\right)-74=0\\ 8-2m^2=0\end{array}\right.\iff m=2.$ Chọn D.