Cho hàm số $y=x^4-2\left(m+1\right)x^2+m^2$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

Ta có $y\text{'}=4x^3-4\left(m+1\right)x=4x\left(x^2-m-1\right)$; $y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m+1\end{array}\right.$.

Để hàm số có ba điểm cực trị <=> $y\text{'}=0$ có ba nghiệm phân biệt $\iff m+1>0\iff m>-1$.

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

                       $A\left(0;m^2\right),B\left(\sqrt{m+1};-2m-1\right)$ và $C\left(-\sqrt{m+1};-2m-1\right)$.

Khi đó $\overrightarrow{AB}=\left(\sqrt{m+1};-2m-1-m^2\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(-\sqrt{m+1};-2m-1-m^2\right)$.

Ycbt $\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\iff -\left(m+1\right)+{\left(m+1\right)}^4=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-1\left(loaïi\right)\\ m=0\left(thoûamaõn\right)\end{array}\right..$ 

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị  $ab<0\iff m>-1.$

Ycbt $\stackrel{}{\to }8a+b^3=0\iff 8.1+{\left[-2\left(m+1\right)\right]}^3=0\iff m=0.$

Chọn B.