Ta có  $y^{\text{'}}=3x^2-6x-m.$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị  $\iff$ phương trình $y^{\text{'}}=0$  có hai nghiệm phân biệt  $\iff {\Delta }^{\text{'}}=9+3m>0\iff m>-3.$

Ta có   $y=y^{\text{'}}.\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}.$

=>  đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là  $\Delta :y=-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}.$

Đường thẳng  $d:x+4y-5=0$ có một VTPT là  ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;4\right).$ 

Đường thẳng $\Delta :y=-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}$ có một VTPT là  ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=\left(\frac{2m}{3}+2;1\right).$

Ycbt  $\stackrel{}{\leftrightarrow }\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos {45}^0=\text{cos}\left(d,\Delta \right)=\left|\text{cos}\left({\overrightarrow{n}}_d,{\overrightarrow{n}}_{\Delta }\right)\right|=\frac{\left|1.\left(\frac{2m}{3}+2\right)+4.1\right|}{\sqrt{1^2+4^2}.\sqrt{{\left(\frac{2m}{3}+2\right)}^2+1^2}}$

 $\stackrel{}{\leftrightarrow }60m^2+264m+117=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-\frac{1}{2}\\ m=-\frac{39}{10} \end{array}\right.\stackrel{m>-3}{\to }m=-\frac{1}{2}:$ thỏa mãn. Chọn A.