Cho hàm số  $y=a{x}^4+b{x}^2+1$   $\left(a\ne 0\right)$. Với điều kiện nào của các tham số  $a,b$ thì hàm số có một điểm cực trị và là điểm cực tiểu.

Ta có $y\text{'}=4a{x}^3+2bx=2x\left(2a{x}^2+b\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\left(*\right)\end{array}\right..$

Để hàm số có một điểm cực trị  $\iff \left(\ast \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0

 $\iff -\frac{b}{2a}\le 0\iff \left[\begin{array}{l}b=0\\ ab>0\end{array}\right.$.                                      (1) 

Khi đó, để điểm cực trị này là điểm cực tiểu thì a>0.    (2)

Từ (1) và (2), suy ra $a>0,b\ge 0$. Chọn D.