Cho hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^4-\left(3m+1\right)x^2+2\left(m+1\right)$ với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.

Ta có $y\text{'}=x^3-2\left(3m+1\right)x=x\left[x^2-2\left(3m+1\right)\right];y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=2\left(3m+1\right)\end{array}\right..$

Để hàm số có ba điểm cực trị  $\iff 2\left(3m+1\right)>0\iff m>-\frac{1}{3}$.

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là:

     $A\left(0;2\left(m+1\right)\right)$,  $B\left(-\sqrt{2\left(3m+1\right)};-9m^2-4m+1\right)$ và  $C\left(\sqrt{2\left(3m+1\right)};-9m^2-4m+1\right)$.

Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là  $G=\left(0;\frac{2\left(m+1\right)+2\left(-9m^2-4m+1\right)}{3}\right)$.

Ycbt:  $G\equiv O\iff 2\left(m+1\right)+2\left(-9m^2-4m+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\left(thoûamaõn\right)\\ m=-\frac{2}{3}\left(loaïi\right)\end{array}\right..$