Cho hàm số y = x^4 + mx^3 - 2x^2 - 3mx + 1( 1 ). Xác định m để (1) có 2 cực tiểu.
Cho hàm số \(y = {x^4} + m{x^3} - 2{x^2} - 3mx + 1\left( 1 \right)\). Xác định m để (1) có 2 cực tiểu.
Lời giải:
\(y' = 4{x^3} + 3m{x^2} - 4x - 3m = \left( {x - 1} \right)\left[ {4{x^2} + \left( {4 + 3m} \right)x + 3m} \right]\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{4{x^2} + \left( {4 + 3m} \right)x + 3m = 0\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Hàm số có 2 cực tiểu ⟺ y có 3 cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt
⟺ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta = {{\left( {3m - 4} \right)}^2} > 0}\\{4 + 4 + 3m + 3m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ne \pm \frac{4}{3}\)
Giả sử: Với \(m \ne \pm \frac{4}{3} \Rightarrow y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\)
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực tiểu
Vậy hàm số có 2 cực tiểu khi \(m \ne \pm \frac{4}{3}\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = - 2}\\{\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = - \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 10}}{2} = 9}\end{array}} \right.\).
Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là (–2; 9) không thuộc đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x \Rightarrow m = - 3\) (không thỏa mãn)
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.