Cho hàm số y = x^3 – 3mx^2 + 4m^3 (m là tham số) có đồ thị C

Đề bài: Cho hàm số y = x³ – 3mx² + 4m³ (m là tham số) có đồ thị C. Xác định m để C có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: y’ = 3x² – 6mx = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2m\end{array}\right.$

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m phải khác 0.

Giả sử hàm số có 2 cực trị là:

A(0; 4m³), B(2m; 0) $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(2m;-4m^3\right)$

Trung điểm của đoạn AB là: I(m; 2m³)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2m-4m^3=0\\ 2m^3=m\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}m=0\\ m^2=\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=\frac{\pm \sqrt{2}}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện, ta có: $m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy với $m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$  thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.