Cho hàm số y = mx^3 – mx^2 – (m +4)x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ

Câu 19: Cho hàm số y = mx³ – mx² – (m +4)x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ.

Trả lời

Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m = 0, hàm số trở thành y = −x + 2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên ℝ. Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3.

Y’ = 3mx2 – 2mx2 – (m + 4)

Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi:

$\{\begin{array}{c}m<0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m<0\\ m^2+3m\left(m+4\right)\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m<0\\ 4m^2+12m\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m<0\\ -3\le m\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m<0\\ -3\le m\le 0\end{array}$

 ⇔ −3 ≤ m < 0.

Kết hợp 2 trường hợp ta được −3 ≤ m ≤ 0 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.