Cho hàm số $y=\frac{m\sin x+1}{\cos x+2}.$  Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [–5;5] để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn −1?

Do  $\cos x+2>0,\forall x\in ℝ$  nên hàm số xác định trên ℝ.

Ta có  $y=\frac{m\sin x+1}{\cos x+2}\iff m\sin x-y\cos x=2y-1.$

Do phương trình có nghiệm nên 

$m^2+y^2\ge {(2y-1)}^2\iff 3y^2-4y+1-m^2\le 0\iff \frac{2-\sqrt{3m^2+1}}{3}\le y\le \frac{2+\sqrt{3m^2+1}}{3}\text{. }$

Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng  $\frac{2-\sqrt{3m^2+1}}{3}$.

Do đó yêu cầu bài toán tương đương 

$\frac{2-\sqrt{3m^2+1}}{3}<-1\iff 3m^2+1>25\iff m^2>8\iff \left[\begin{array}{l}m>2\sqrt{2}\\ m<-2\sqrt{2}\end{array}\right.\text{.}$

Vì m là giá trị nguyên thuộc đoạn  $[-5;5]$ nên  $m\in \{-5;-4;-3;3;4;5\}.$

Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A