Cho hàm số y = (m² – 2m + 3)x + 6m có đồ thị là (d). Giá trị của m để (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho S_OAB lớn nhất.

Ta có (d): y = (m² – 2m + 3)x + 6m.

Điều kiện (d) cắt Ox, Oy Û (m² - 2m + 3) = (m - 1)² + 2 ≠ 0 với mọi m Î ℝ

Ta có \[A\left( {\frac{{ - 6m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\,\,0} \right)\];

B(0; 6m);

O(0; 0).

Khi đó \[{S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.\left| {{x_a}} \right|.\left| {{y_b}} \right|\]

\[ = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{ - 6m}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right|.\left| {6m} \right| = 6.\left| {\frac{{{m^2}}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right|\].

Đặt \[y = \frac{{{m^2}}}{{{m^2} - 2m + 3}}\]

S_max Û y max

Û (m² - 2m + 3).y = m²

Với y = 0 Þ m = 0

Với y ≠ 0 . Ta có f(m) = (y - 1)m² - 2ym + 3y phải có nghiệm

D = y² - 3y(y - 1) = -2y² + 3y ³ 0 Þ 0 £ y £ \[\frac{3}{2}\].

GTLN y đạt tại m = \[\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{2y}}{{2(y - 1)}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{3}{2} - 1}} = 3\].

Vậy GTLN đạt được khi m = 3.