Cho hàm số y = (lnx - 4) / (lnx - 2m) với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị

Đề bài: Cho hàm số y=lnx−4lnx−2m với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; e). Tìm số phần tử của S.

A. 3;

B. 2;

C. 1;

D. 4.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là C.

Ta có $y=f\left(x\right)=\frac{\ln x-4}{\ln x-2m}$.

Đặt t = ln x, điều kiện t ∈ (0; 1).

Khi đó $g\left(t\right)=\frac{t-4}{t-2m};g\text{'}\left(t\right)=\frac{-2m+4}{{\left(t-2m\right)}^2}$.

Để hàm số f(x) đồng biến trên (1; e) thì hàm số g(t) đồng biến trên (0; 1)

$\Rightarrow$g’(t) > 0, t ∈ (0; 1) $\iff \frac{-2m+4}{{\left(t-2m\right)}^2}>0$, t ∈ (0;1)

$\iff \left\{\begin{array}{l}-2m+4>0\\ 2m\notin (0;1)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\frac{1}{2}\le m<2\\ m\le 0\end{array}\right.$.

Mà S là tập hợp các số nguyên dương nên suy ra S = {1}.

Vậy số phần tử của tập S là 1.