Cho hàm số y = f(x)  đồng biến trên $\left(0;+\infty \right),y=f\left(x\right)$  liên tục, nhận giá trị dương trên $\left(0;+\infty \right)$  thỏa mãn $f\left(3\right)=\frac{4}{9}$  và ${\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2=\left(x+1\right)\cdot f\left(x\right)$ . Tính f(8) .

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2=\left(x+1\right).f\left(x\right)\Rightarrow \frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{f\left(x\right)}}=\sqrt{x+1}$ .

Suy ra $\underset{3}{\overset{8}{\int }}\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{f\left(x\right)}}\text{d}x=\underset{3}{\overset{8}{\int }}\sqrt{x+1}\text{\hspace{0.17em}d}x$ .

$\Rightarrow {\left.2\sqrt{f\left(x\right)}\right|}_3^8=\frac{38}{3}\iff \sqrt{f\left(8\right)}-\sqrt{f\left(3\right)}=\frac{19}{3}\iff \sqrt{f\left(8\right)}-\sqrt{\frac{4}{9}}=7\iff f\left(8\right)=49$