Cho hàm số y = 2x^2 – 3x – 5 (1). Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

Đề bài: Cho hàm số y = 2x² – 3x – 5 (1). Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 4x + m tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) thỏa mãn $2{\left(x1\right)}^2+2{\left(x2\right)}^2=3x1x2+7$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y = 4x + m là:

2x² – 3x – 5 = 4x + m

Û 2x² – 7x – 5 – m = 0 (*)

Để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 4x + m tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Û D > 0

Û (–7)² – 4.2.(– 5 – m) > 0

Û 49 + 40 + 8m > 0

$\iff m>\frac{-89}{8}$.

Khi đó, theo hệ thức Viet ta có:   $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{7}{2}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-m-5}{2}\end{array}\right.$

Theo bài,  $2x_1^2+2x_2^2=3x_1{x}_2+7$

$$\begin{gathered} \iff 2\left(x_1^2+x_2^2\right)-3x_1{x}_2=7 \\ \iff 2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]-3x_1{x}_2=7 \\ \iff 2{\left(x_1+x_2\right)}^2-7x_1{x}_2=7 \\ \iff 2\cdot {\left(\frac{7}{2}\right)}^2-7.\frac{-m-5}{2}=7 \\ \iff \frac{49}{2}+\frac{7\left(m+5\right)}{2}=7 \\ \iff 49+7m+35=14 \\ \iff 7m=-70 \end{gathered}$$

$\iff m=-10$ (thỏa mãn)

Vậy m = –10.