Nếu tịnh tiến đồ thị đã cho qua trái 1 đơn vị thì hàm số có dạng $y=a{x}^4+bx+c\left(a\ne 0\right)$.

Dựa vào đồ thị ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}y\left(0\right)=1\\ y\left(1\right)=-2\\ y\left(2\right)=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b+c=-2\\ 16a+4b+c=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ a=1\\ b=-4\end{array}\right.$$\Rightarrow y=x^4-4x^2+1$.
Đồ thị cho trên đề bài : $y={\left(x-1\right)}^4-4\left(x-1\right)+1={\left(x^2-2x\right)}^2-4\left(x^2-2x\right)-1$ $\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x^2-2x\right)={\left(x^2-2x\right)}^2-2\left(x^2-2x\right)-1$.
Đặt $x^2-2x=t$$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=t^2-2t-1$
Ta có $g\left(x\right)=f\left(x^2-1\right)+\frac{2}{3}{x}^3+1$
$g^{\text{'}}\left(x\right)=2x.f^{\text{'}}\left(x^2-1\right)+2x^2=2x\left(f^{\text{'}}\left(x^2-1\right)+x\right)=2x\left[{\left(x^2-1\right)}^2-2\left(x^2-1\right)-1+x\right]$
$=2x\left(x^4-4x^2+x+2\right)$
$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-2\\ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$
Bảng xét dấu của $g^{\text{'}}\left(x\right)$

Dựa vào bảng xét dấu hàm số $g\left(x\right)$ đồng biến trên các khoảng $\left(-2;\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$ và $\left(0;1\right)$ và $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty \right)$
nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right)$và $\left(1;\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$.