Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 1)x + m – 1 (d). Tìm m để khoảng cách từ O(0; 0

Đề bài: Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 1)x + m – 1 (d). Tìm m để khoảng cách từ O(0; 0) đến (d) là căn 3

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có y = (2m – 1)x + m – 1 (d).

Điều kiện 2m – 1 ≠ 0 $m\ne \frac{1}{2}$ .

Gọi A là giao điểm của (d) và Ox $\Rightarrow A\left(\frac{-m+1}{2m-1};0\right)$ .

Gọi B là giao điểm của (d) và Oy nên B(0; m – 1).

Gọi H là chân đường cao kẻ từ O xuống (d).

Để khoảng cách từ O đến (d) bằng $\sqrt{3}$  thì $OH=\sqrt{3}$ .

Khi đó $OA=\left|\frac{-m+1}{2m-1}\right|$ ; OB = |m – 1|.

Xét $\Delta$ OAB vuông tại O, đường cao AH có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}$

$\iff \frac{1}{3}=\frac{1}{{\left(\frac{-m+1}{2m-1}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(m-1\right)}^2}$ (điều kiện: m ≠ 1).

$$\begin{gathered} \iff \frac{1}{3}=\frac{{\left(2m-1\right)}^2}{{\left(m-1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(m-1\right)}^2} \\ \iff \frac{1}{3}=\frac{4m^2-4m+1+1}{m^2-2m+1} \end{gathered}$$

⇔ m² – 2m + 1 = 12m² – 12m + 6

⇔ 11m² – 10m + 5 = 0

⇔$11\left(m^2-2\frac{5}{11}m+\frac{25}{121}\right)=\frac{30}{11}=0$

$\iff 11{\left(m-\frac{5}{11}\right)}^2+\frac{30}{11}=0$ (vô nghiệm).

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn khoảng cách từ O đến (d) bằng $\sqrt{3}$ .